关于保测变换的Koopman谱的逼近

对于紧度量空间上连续保测自同构这一类对象，本文提出一种构造方法，用于构建相应Koopman算子在Hilbert空间上的有限维逼近序列。这些有限维逼近由底层自同构的所谓“周期逼近”得到，并取置换算子的形式。文中建立了关于这些离散化如何在谱意义上逼近Koopman算子的结果。具体而言，证明了这些置换算子的谱测度与谱投影子均弱收敛于其无限维对应物。基于此结果，导出了一种计算单位$m$-环面上保体积映射谱的数值方法。离散化Koopman算子可通过求解二部匹配问题构造，其时间复杂度为$\mathcal{O}(\tilde{n}^{3m/2})$，其中$\tilde{n}$表示各维度上的网格大小。通过利用离散化Koopman算子的置换结构，进一步证明可利用FFT算法以$\mathcal{O}(m \tilde{n}^{m} \log \tilde{n})$次运算计算投影与密度函数。我们的方法在环面上若干包含离散、连续或混合谱的经典自同构例子上进行了说明。此外，利用我们的方法考察了Chirikov标准映射的谱性质。