转移算子与Koopman算子的复谱及特征函数的结构

转移算子与Koopman算子的复本征谱描述了动力系统中的旋转运动。应用中一个特别相关的情形是旋转速度依赖于动力学的状态空间位置。我们考虑了一个存在小噪声的此类动力学的典型模型，并对相应转移算子的本征谱和本征函数提供了精确刻画。此外，我们研究了零噪声极限下本征谱和本征函数的极限行为，包括它们的二次和线性响应。我们的结果阐明了转移算子和Koopman算子本征谱的结构，并为应用提供了新的解释。我们关于本征函数支撑局部化的定理，为检测具有不同周期的近似循环运动的存在性及其状态空间位置提供了简单算法。数值结果验证了，在线性响应范围内，由算子本征数据确定的周期信息及其位置对噪声水平不敏感。我们相信，本征数据背后的动力学机制及其性质具有相当广泛的适用性，并增强了我们对利用算子方法进行动力系统中近似循环检测的理解。