用于控制的 Koopman 不变子空间与非线性动力系统的有限维线性表示

在本工作中，我们通过将 Koopman 算子限制在不变子空间上来探索非线性动力系统的有限维线性表示。Koopman 算子是一个无穷维线性算子，用于演化动力系统状态空间的可观测函数 [Koopman 1931, PNAS]。Koopman 展开中的主导项通常通过动态模态分解（DMD）计算。DMD 使用状态变量的线性测量，最近有研究表明这对非线性系统而言可能过于受限 [Williams et al. 2015, JNLS]。选择非线性可观测函数以构成一个能够获得线性模型（特别是对控制有用的线性模型）的不变子空间，仍是一个开放性挑战。在此，我们研究用于 Koopman 分析的可观测函数的选择，使得能够在非线性问题上使用最优线性控制技术。首先，为了像线性二次型调节器（LQR）控制那样引入对系统状态的代价，将这些状态包含在可观测子空间中（如 DMD 所做）是有益的。然而，我们发现这仅在存在单一孤立不动点时才可能实现，因为具有多个不动点或更复杂吸引子的系统在全局拓扑上不共轭于有限维线性系统，且无法由包含状态的有限维线性 Koopman 子空间表示。随后，我们提出了一种数据驱动策略，通过一种新算法在非线性函数空间中对数据进行稀疏回归以确定动力系统中的项，从而识别用于 Koopman 分析的相关可观测函数 [Brunton et al. 2015, arxiv]；我们展示了该算法与 DMD 的关系。最后，我们演示了如何利用线性最优控制技术在 Koopman 不变子空间上为非线性系统设计最优控制律。