欧氏空间上（对数）自相似马尔可夫半群的弱相似轨道

我们首先确定了一类由连续负定函数集生成的伪微分算子，它们位于欧氏空间上自伴对数-贝塞尔算子的弱相似（WS）轨道中。这些WS关系被证明可用于首先刻画该类中每个算子的一个核，从而使我们能证明它们生成一类记为 $\mathscr{P}$ 的非自伴 $\mathcal{C}_0$-压缩正半群。在同胚意义下，$\mathscr{P}$ 包含了作为概率论基本对象的 $\mathbb{R}_+^d$ 上自相似马尔可夫半群族。依托WS轨道，我们刻画了 $\mathscr{P}$ 中每个元素的谱的性质，该谱用于其谱表示，并依赖于由相关负定函数定义的伯恩斯坦-伽马函数的解析性质，其可为点谱、剩余谱、近似谱或连续谱。接着我们给出 $\ccP$ 中每个元素的谱表示，表示为傅里叶乘子算子形式，且至少在自然加权 $L^2$-空间的稠密域上成立。令人惊讶的是，当谱为剩余谱时，该域为完整的希尔伯特空间，这似乎是文献中首次被注意到。我们在文末给出一系列例子，其中所有谱分量都用特殊函数或最近引入的幂级数显式算出。