分数阶算子的谱分解与反射稳定半群

在本文中，我们给出了 Hilbert 空间中 $\mathcal{C}_0$-半群 $P$ 及其伴随算子 $\hatP$ 的谱分解，它们的生成元分别为指标 $1<\alpha<2$ 的 Caputo 分数阶导数与右侧 Riemann-Liouville 分数阶导数。这些非局部且非自伴的线性算子出现在许多近期应用数学研究中，并且也作为一些重要过程（如反射谱负 $\alpha$-稳定过程）的无穷小生成元出现。我们的方法依赖于我们在这些半群与一个 Bessel 型过程的半群之间建立的交织关系，该过程的生成元是一个自伴二阶微分算子。特别地，从这一交换关系出发，我们将正实轴表征为 $P$ 的连续点谱，并给出了相应本征函数的幂级数表示。我们还将正实轴确定为伴随算子 $\hatP$ 的剩余谱，并阐明了其在这些算子谱分解中的作用。借助连续标架的概念，我们进一步研究了谱算子的定义域，并导出了这些半群热核的两种表示。作为副产品，我们还获得了这些热核以及相应 Cauchy 问题解的正则性性质。