二阶几何变形算子离散谱与谱刚性

我们分析定义在 Hilbert 空间 $L^2([-v_c, v_c])$ 上的自伴二阶微分算子 $\hat{C}$ 的谱性质。我们推导离散谱 $\{C_n\}$，证明其关联本征函数的完备性，并建立正交归一关系。该分析遵循经典的 Sturm--Liouville 框架，确认变形模式 $C_n$ 在紧区间上形成谱基。我们进一步建立谱刚性结果：均匀谱系数意味着常数轮廓 $C(v) = \pi$，该函数不属于算子的 Sobolev 域。这些结果为谱几何和函数分析的进一步研究提供了严格基础。