代数几何 Schrödinger 算子的谱 Picard-Vessiot 域

本文对谱问题 $L\Psi=\lambda\Psi$ 进行 Galois 理论研究，其中 $L$ 为系数在微分域中的二阶代数几何微分算子，该微分域的常数域 $C$ 是特征为零的代数闭域。我们的方法将谱参数 $\lambda$ 视为 $C$ 上的代数变量，从而迫使考虑 $L-\lambda$ 的一个新的系数域，其常数域为谱曲线 $\Gamma$ 的函数域 $C(\Gamma)$。由于 $C(\Gamma)$ 不再是代数闭域，因此需要一种新的代数结构，由谱问题在 $\Gamma$ 上的解生成，称为 $L-\lambda$ 的“谱 Picard-Vessiot 域”。利用微分代数证明了一个存在性定理，使得对于每个 $\lambda=\lambda_0$ 都能恢复经典的 Picard-Vessiot 理论。对于有理谱曲线，建立了适当的代数框架以解析地求解 $L\Psi=\lambda\Psi$ 并应用符号积分。我们以 Rosen-Morse 孤子为例说明了所得结果。