扩张映射上环面扩张的转移算子的谱间隙

我们研究斜积 $F: \mathbb{T}^d\times \mathbb{T}^\ell\to \mathbb{T}^d\times \mathbb{T}^\ell$（由 $F(x,y)=(Tx, y+\tau(x) \pmod{ \mathbb{Z}^\ell})$ 给出）的转移算子的谱间隙，其中 $T: \mathbb{T}^d\to \mathbb{T}^d$ 是一个 $C^\infty$ 一致扩张自同态，纤维映射 $\tau: \mathbb{T}^d\to \mathbb{R}^\ell$ 是一个 $C^\infty$ 映射。我们对任意 $s<0$ 构造了一个 Hilbert 空间 $\mathcal{W}^{-s}$，它包含了 $\mathbb{T}^d\times \mathbb{T}^\ell$ 上所有 Hölder 指数为 $|s|$ 的 Hölder 函数。应用半经典分析方法，我们得到如下二分性：转移算子在 $\mathcal{W}^{-s}$ 上具有谱间隙，或者 $\tau$ 是一个本质上边缘。在前一种情况下，$F$ 对 Hölder 指数为 $|s|$ 的 Hölder 观测函数以指数速度混合；在后一种情况下，要么 $F$ 不是弱混合的且它半共轭于一个圆周旋转，要么 $F$ 是不稳定混合的，即它可以被非混合斜积逼近。