随机部分扩张映射的转移算子的平坦迹统计

我们考虑圆周 $\mathbb T$ 上扩张映射 $E$ 与确定性函数 $\tau_0$ 的几乎必然 $\mathcal C^k$ 随机扰动 $\tau=\tau_0+\delta\tau$ 的斜积：$$F :\left\{\begin{array}{rcl} \mathbb T \times \mathbb R & \longrightarrow & \mathbb T \times \mathbb R\ (x,y)& \longmapsto & (E(x), y+\tau(x))\ \end{array} \right.$$ 关联的转移算子 $\mathcal L:u \in \mathcal C^k (\mathbb T \times \mathbb R) \mapsto u\circ F$ 可关于 $y$ 变量的频率分解为作用于圆周上函数的一族算子：$$\mathcal L_\xi :\left\{\begin{array}{rcl} \mathcal C^k(\mathbb T) & \longrightarrow & \mathcal C^k(\mathbb T)\ u & \longmapsto & e^{i\xi\tau}u\circ E \ \end{array} \right.$$ 我们证明了 $\mathcal L^n_{\xi}$ 的平坦迹在半经典极限 $n, \xi\to\infty$ 直至 Ehrenfest 时间 $n\leq c_k\log\xi$ 表现为正态分布。