一族分段线性映射的统计量

我们研究截断平点映射 $f_t(x)$ 的统计性质。特别地，我们考察对于大的 $n$，当 $x_0$ 和 $t$ 均在单位圆上独立且均匀分布时，偏差 $\sum_{i=0}^{n-1} \left(f_t^i(x_0)-\frac 12\right)$ 经重标度后是否满足 $Q$-高斯分布。其动机在于：若 $f_t$ 为旋转 $t$，则已证明此时重标度偏差服从 $Q=2$ 的 $Q$-高斯分布（即柯西分布）。这是在保守动力系统中解析确立非平凡（即 $Q\neq 1$） $Q$-高斯的唯一情形。然而，本文中我们证明，对于此处考虑的一族映射，$\lim_n S_n/n$ 收敛于一个具有奇特分布的随机变量，该分布显然既不是 $Q$-高斯分布，也不是其他任何标准光滑分布。