随机二部平面地图的不变性原理

随机平面地图在物理文献中被视为随机曲面的离散对应。据猜想，适当重标度的随机平面地图在条件化为具有大量面时，应收敛到一个极限曲面，其分布（至多差缩放因子）不依赖于所抽样地图类的细节。该主题先前的工作（始于 Chassaing 与 Schaeffer）已表明，具有 $n$ 个面的随机四边形剖分的半径，即此类四边形剖分上到固定参考点的最大图距离，在经 $n^{1/4}$ 重标度后依分布收敛到布朗蛇的直径（至多差一个缩放常数）。利用 Bouttier、Di Francesco 与 Guitter 在二部平面地图与一类标号树之间的双射，我们展示了对一类服从 Boltzmann 分布（对面度数为 $2k$ 的面赋予权值 $q_k$）的随机地图的相应不变性原理：此类地图的半径在条件化为具有 $n$ 个面（或 $n$ 个顶点）且在一临界性假设下，经 $n^{1/4}$ 重标度后依分布收敛到布朗蛇直径的缩放版本。文中也给出了所谓地图剖面的收敛结果。还展示了重标度二部地图在 Marckert 与 Mokkadem 引入的意义下收敛到布朗地图。这些结果的证明依赖于一个关于两类空间 Galton--Watson 树的新不变性原理。