关于具有给定度序列的随机树与映射的缩放极限

我们研究二部平面映射上的配置模型，其中给定 $n$ 个偶整数，以这些面度均匀随机采样一个具有 $n$ 个面的平面映射。我们证明当适当重新缩放时，此类映射在 Gromov-Hausdorff-Prokhorov 拓扑中当 $n \to \infty$ 时总存在非平凡子列极限。进一步，我们证明它们依分布收敛到著名的布朗球面，更一般地，对于有边界的映射收敛到布朗圆盘，当且仅当不存在具有宏观度数的内面，或者，若周长过大，映射退化并收敛到布朗树。通过首先以适当分布随机采样度数，该模型恢复了与临界权重相关的、在指数为 $\alpha\in [1,2]$ 的稳定律吸引域中的尺寸条件化 Boltzmann 映射。布朗树和圆盘分别出现在 $\alpha=1$ 和 $\alpha=2$ 的情形，而在 $\alpha \in (1,2)$ 的情形我们的结果部分恢复了先前已知的结果。我们的证明依赖于与标记平面树的已知双射，给定 $n$ 个出度时它们同样被均匀随机采样。在此过程中，我们获得了关于此类树几何的一些结果，例如向布朗树的收敛但仅在随机顶点所张子树的较弱意义下，这具有独立的意义。