通过限制法研究带简单边界的随机平面四边形的缩放极限

我们证明带简单边界的四边形收敛于布朗圆盘。更精确地，我们固定一个偶正整数序列 $(p_n)$，满足 $p_n\sim 2\alpha \sqrt{2n}$，其中 $\alpha\in(0,\infty)$。那么，对于 Gromov--Hausdorff 拓扑，在具有 $n$ 个内部面和边界长度 $p_n$ 的四边形中均匀采样得到的带简单边界的四边形，在通常的缩放 $n^{-1/4}$ 下，弱收敛于周长为 $3\alpha$ 的布朗圆盘。我们的方法在于将均匀带简单边界的四边形视为一类映射模型的 conditioned 版本，而该映射模型的 Gromov--Hausdorff 缩放极限已知。然后我们解释在此随机映射设定中如何使用经典的解条件化技术。