带边界的随机平面四边形剖分的标度极限

我们讨论具有边界的大的平面四边形剖分的标度极限，其中边界长度的数量级为面数的平方根。我们考虑一个整数序列 $(\sigma_n)$，使得 $\sigma_n/\sqrt{2n}$ 趋于某个 $\sigma\in[0,\infty]$。对于每个 $n \ge 1$，我们称 $q_n$ 为一个随机地图，它均匀分布于所有具有 $n$ 个面且边界上有 $2\sigma_n$ 条半边的有根带边界平面四边形剖分的集合上。对于 $\sigma\in (0,\infty)$，我们通过赋予其顶点集以图度量并按 $n^{-1/4}$ 缩放，将 $q_n$ 视为一个度量空间。我们证明，在 Gromov--Hausdorff 拓扑的意义下，该度量空间至少沿某个子列依分布收敛到一个极限随机度量空间。我们证明，该极限度量空间几乎必然是一个 Hausdorff 维数为 4 的空间，且其边界是一个与二维圆盘同胚的 Hausdorff 维数为 2 的集合。对于 $\sigma=0$，同样的收敛性无需取子列即成立，且其极限是所谓的 Brownian map。对于 $\sigma=\infty$，适当的缩放变为 $\sigma_n^{-1/2}$，我们得到了向 Aldous 的 CRT 的收敛。