随机平面地图边界的极限

在假设典型面的度分布属于参数为 $\alpha \in (1,2)$ 的稳定分布吸引域的前提下，我们讨论临界 Boltzmann 平面地图边界的渐近性质。首先，在对应于 $\alpha\in(1,3/2)$ 的稠密相中，我们证明了边界的标度极限是参数为 $(\alpha-1/2)^{-1}$ 的随机稳定环树（looptree）。其次，我们通过边界的局部极限证明了相变的存在：在稠密相中，边界呈树状结构；而在对应于 $\alpha\in(3/2,2)$ 的稀疏相中，边界存在一个同胚于半平面的连通分支。作为应用，我们确定了四剖分上刚性 $O(n)$ 环模型中条件化为大环的环的极限，从而证明了 Curien 和 Kortchemski 的猜想。