布朗映射是均匀随机平面四边形剖分的缩放极限

我们证明了球面上具有 $n$ 个面的均匀随机四边形剖分，在赋予通常的图距离并以 $n^{-1/4}$ 重新标度后，当 $n\to\infty$ 时在 Gromov-Hausdorff 拓扑下依分布收敛到一个极限度量空间。我们验证了 Le Gall 的一个猜想，证明该极限（相差一个尺度常数）就是所谓的{\em 布朗映射}，它由 Marckert 与 Mokkadem 以及 Le Gall 引入，作为许多随机平面地图模型缩放极限的最自然候选。证明强烈依赖于地图中{\em 测地星}的概念，即由多条仅共享一个公共端点且不在别处相交的测地线构成的构型。