分形伪微分算子谱论

本文讨论了紧凸分形伪微分算子 $T^\mu_\tau$ 的本征值分布，其定义为\n$$\big( T^\mu_\tau f\big)(x) = \int_{\mathbb{R}^n} e^{-ix\xi} \, \tau(x,\xi) \, \big( f\mu \big)^\vee (\xi) \, \mathrm{d} \xi, \qquad x\in \mathbb{R}^n,$$\n其中 $\tau(x,\xi)$ 为属于适当 H"{o}rmander 类 $\Psi^\sigma_{1, \varrho} (\mathbb{R}^n)$ 的光滑伪微分算子符号，$\sigma <0$，$0 \le \varrho \le 1$（包括特殊情形 $\varrho =1$），而 $\mu$ 为紧凸 $d$ 集 $\Gamma$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上的 Hausdorff 测度，$0<d<n$。这扩展了基于 Hilbert 空间论证的正定自伴分形微分算子 $(\mathrm{id} - \Delta)^{\sigma/2} \mu$ 在适当 Sobolev 空间 $H^s (\mathbb{R}^n) = B^s_2 (\mathbb{R}^n)$ 中的先前断言。我们在下面的 {主定理} 中总结了结果。证明基于紧凸测度算子的熵数估计\n$$\mathrm{tr}_\mu: \quad B^s_p (\mathbb{R}^n) \hookrightarrow L_p (\Gamma, \mu), \quad s>0, \quad 1<p<\infty.$$\n我们在论文末尾添加了几段关于 Pietsch 在近似数和熵数创建方面作用的个人回忆。