抽象与微分算子函数特征值个数的估计

我们考虑算子函数 $F(\lambda)$（$\lambda\in(\sigma,\tau)\subseteq\mathbb R$），其取值为 Hilbert 空间 $\mathfrak H$ 中的半有界自伴算子。我们的主要目标是估计 $F(\lambda)$ 在线段 $[\alpha,\beta)\Subset(\sigma,\tau)$ 上特征值个数 $\mathcal N_F(\alpha,\beta)$。特别地，我们证明估计 $\mathcal N_F(\alpha,\beta)\geqslant \nu_F(\beta)-\nu_F(\alpha)$ 与 $\mathcal N_F(\alpha,\beta)= \nu_F(\beta)-\nu_F(\alpha)$，其中 $\nu(\xi)$ 为算子 $F(\xi)$（$\xi\in(\sigma,\tau)$）的负特征值个数。所得结果应用于有限区间上常微分算子的函数。