高斯模型中协方差算子的迹泛函与谱测度估计

设 $f:{\mathbb R}_+\mapsto {\mathbb R}$ 为满足 $f(0)=0$ 的光滑函数。研究了基于取值于可分 Hilbert 空间 ${\mathbb H}$ 的独立同分布零均值高斯观测值 $X_1,\dots, X_n$（其协方差算子为 $\Sigma$），对未知协方差算子 $\Sigma$ 的泛函 $\tau_f(\Sigma):= {\rm tr}(f(\Sigma))$ 进行估计的问题。设 $\hat \Sigma_n$ 为基于观测值 $X_1,\dots, X_n$ 的样本协方差算子。考虑了基于多个 plug-in 估计量 $\tau_f(\hat \Sigma_{n_j})$ 线性聚合的估计量 \begin{align*} T_{f,m}(X_1,\dots, X_n):= \sum_{j=1}^m C_j \tau_f(\hat \Sigma_{n_j}) \end{align*}，其中样本量 $n/c\leq n_1<\dots<n_m\leq n$ 且系数 $C_1,\dots, C_n$ 的选择旨在减小偏差。该问题的复杂度由协方差算子 $\Sigma$ 的有效秩 ${\bf r}(\Sigma):= \frac{{\rm tr}(\Sigma)}{\|\Sigma\|}$ 刻画。结果表明，若对于某个 $m\geq 2$，有 $f\in C^{m+1}({\mathbb R}_+)$，$\|f''\|_{L_{\infty}}\lesssim 1$，$\|f^{(m+1)}\|_{L_{\infty}}\lesssim 1$，$\|\Sigma\|\lesssim 1$ 且 ${\bf r}(\Sigma)\lesssim n$，则 \begin{align*} & \|\hat T_{f,m}(X_1,\dots, X_n)-\tau_f(\Sigma)\|_{L_2} \lesssim_m \frac{\|\Sigma f'(\Sigma)\|_2}{\sqrt{n}} + \frac{{\bf r}(\Sigma)}{n}+ {\bf r}(\Sigma)\Bigl(\sqrt{\frac{{\bf r}(\Sigma)}{n}}\Bigr)^{m+1}. \end{align*} 类似界限也已针对估计量 $\hat T_{f,m}(X_1,\dots, X_n)$ 的 $L_{p}$ 误差和其他一些 Orlicz 范数误差得到证明。此外还讨论了这些误差率的最优性、实现渐近效率的其他估计量，以及在一类光滑检验函数 $f$ 上的一致界限。