高斯平移模型中光滑函数估计的傅里叶分析方法

令 $\mathbf{x}_j = \mathbf{\theta} + \mathbf{\epsilon}_j$，$j=1,\dots,n$ 为高斯随机向量 $\mathbf{x}\sim\mathcal{N}(\mathbf{\theta},\mathbf{\Sigma})$ 的独立同分布副本，其中均值 $\mathbf{\theta} \in \mathbb{R}^d$ 未知，协方差矩阵 $\mathbf{\Sigma}\in \mathbb{R}^{d\times d}$ 未知。本文旨在研究 $f(\mathbf{\theta})$ 的估计问题，其中 $f$ 为给定的光滑函数，其光滑性由 Besov 型范数刻画。所关注的问题处于高维情形，其内禀维数可随样本量 $n$ 增长。受 A. N. Kolmogorov 关于无偏估计的经典工作及 Littlewood-Paley 理论的启发，我们基于傅里叶分析方法开发了一种新估计量，实现了有效的偏差削减。当 $f$ 的光滑性指数高于某一阈值时，证明了渐近正态性与有效性，该阈值由 Koltchinskii 等人(2018)针对 H"{o}lder 型函数类近期所发现。文中给出数值模拟以验证我们的分析。该估计量实现简单且在性能上优于插件法，表明其可应用于广泛的实际问题。