Sobolev 空间与算子：涡度及散度梯度

在有光滑边界的有界域 $G$ 中，研究了 Sobolev 空间中涡旋（rotor）算子与散度梯度 $+\lambda\,I$ 算子的边值问题与谱问题。对于 $\lambda\neq 0$，这些算子（借助 B. Veinberg 与 V. Grushin 方法）可约化为椭圆矩阵，且边值问题满足 V. Solonnikov 的椭圆性条件。这些谱问题的解的有用性质由理论与估计得出。$\nabla \text{div}$ 与 $\text{rot}$ 算子在由 $\mathbf{L}_{2}(G)$ 中势场与涡旋场构成的正交子空间 $\mathcal{A}_{\gamma }$ 与 $\mathbf{V}^0$ 中分别有自伴扩张 $\mathcal{N}_d$ 与 $\mathcal{S}$。它们的特征向量构成 $\mathcal{A}_{\gamma }$ 与 $\mathbf{V}^0$ 中的正交基，其元素由傅里叶级数表示，算子则为级数的变换。我们定义了势场与涡旋场类及它们直和类 $C (2k,m)$ 中阶数为 $2k$ 与 $m$ 的 Sobolev 空间类比 $\mathbf{A}^{2k}_{\gamma }$ 与 $\mathbf{W}^m$。证明了若 $\lambda\neq Sp(\mathrm{rot})$，则算子 $\text{rot}+\lambda\,I$ 将类 $C(2k,m+1)$ 一一连续地映到类 $C(2k,m)$ 上；若 $\lambda\neq Sp(\nabla \mathrm{div})$，则算子 $\nabla \text{div}+\lambda\,I$ 将类 $C(2(k+1), m)$ 映到类 $C(2k,m)$ 上。