$\nabla\,div$ 算子的傅里叶级数与 Sobolev 空间 II

作者研究了三维空间带光滑边界的有界域 $G$ 上按模平方可积的向量-函数空间 $\mathbf{L}_{2}(G)$ 的结构,以及散度梯度与旋度算子在构造其正交子空间 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 的基中的作用。$\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 分别含有子空间 ${\mathcal{A}_{\gamma}}(G)\subset{\mathcal{A}}$ 和 $\mathbf{V}^{0}(G)\subset{\mathcal{B}}$。散度梯度与旋度算子在 these 子空间中有延拓,其扩张 $\mathcal{N}_d$ 和 $S$ 是自伴可逆的,且逆算子 $\mathcal{N}_{d}^{-1}$ 和 $S^{-1}$ 是紧的。我们在每个子空间中构造了正交规范基。合并这些基,我们得到了整个空间 $\mathbf{L}_{2}(G)$ 的由散度梯度与旋度算子的特征函数构成的完整正交规范基。当域 $G$ 为球 $B$ 时,基函数由初等函数给出。定义了空间 $\mathcal{A}^{s}_{\mathcal{K}}(B)$。证明了条件 $\mathbf{v}\in\mathcal{A}^{s}_{\mathcal {K}}(B)$ 是其傅里叶级数(按散度梯度特征函数)在 Sobolev 空间 $\mathbf{H}^{s}(B)$ 范数下收敛的充要条件。利用函数 $\mathbf{f}$ 和 $\mathbf{u}$ 的傅里叶级数,作者研究了边值问题在空间 $\mathbf{H}^{s}(G)$ 中的可解性:$\nabla\mathbf{div}\mathbf{u}+ \lambda\mathbf{u}=\mathbf{f}$ 于 $G$ 内, $\mathbf{n}\cdot\mathbf{u}|_{\Gamma}=g$ 于边界上,在 $\lambda\neq0$ 条件下。在球 $B$ 中,边值问题 $\nabla\mathbf{div}\mathbf{u}+ \lambda\mathbf{u}=\mathbf{f}$ 于 $B$ 内, $\mathbf{n}\cdot\mathbf{u}|_S=0$,被完全求解且对任意 $\lambda$ 成立。