$\mathbf{L}_{2}(G)$空间子空间中散度算子的梯度

作者研究了三维空间中具有光滑边界的有限连通域$G$内平方可积向量值函数空间$\mathbf {L} _ {2} (G)$的结构,以及散度梯度算子和旋度算子在子空间${\mathcal {{A}}}$和${\mathcal {{B}}}$基构造中的作用。算子$\nabla \mathrm {div}$向子空间$\mathcal {A} _ {\gamma} \subset {\mathcal {{A}}}$的延拓$\mathcal {N} _d$的自伴性及其本函数系的基性。给出了在球域中求解谱问题的显式公式,以及向量函数按散度梯度本函数展开为傅里叶级数的条件。边值问题$\nabla \mathrm {div} \, \mathbf {u} + \lambda \, \mathbf {u} = \mathbf {f}$在$G$中、$(\mathbf {n} \cdot \mathbf {u}) | _ {\Gamma} = g$在$s \geq 0$阶Sobolev空间$\mathbf {H} ^ {s} (G)$及子空间中的可解性。顺便给出了旋度算子及其向$\mathcal {B}$的对称延拓$S$的类似结果。