曲面向量场分解定理与弹性力学中 Neumann-Poincaré 算子的谱结构

我们证明了三维中具有Lipschitz边界的有界域边界上的向量场空间可分解为三个子空间：第一个子空间的元素可延拓到域内部为无散度且无旋的向量场，第二个可延拓到外部为无散度且无旋的向量场，第三个可同时延拓到内部和外部为无散度的调和向量场。我们进而表明分解中的每个子空间都是无限维的。我们还证明在边界的温和正则性假设下，该分解是几乎直和的，即任意两个子空间的交是有限维的。我们实际上证明了交的维数由边界的第一Betti数界定。特别地，若边界是单连通的，则分解是直和。我们将此分解定理应用于研究弹性力学中Neumann-Poincaré算子的谱性质，其三次多项式已知是紧的。我们证明了该三次多项式的每个线性因子在分解的各个子空间上分别是紧的，且这些子空间刻画了Neumann-Poincaré算子的特征空间。我们随后证明了三维中的所有结果，即曲面向量场分解与谱结构，都推广到更高维。我们还证明了二维中类似但不同的结果。