关于闭与正合的 Grad-grad- 和 div-Div-复形、相应的张量旋转紧嵌入，以及 3D 双调和问题的一个相关分解结果
偏微分方程分析
2017-04-28 v4 数学物理
泛函分析
math.MP
数值分析
摘要
本文证明了 3D 中拓扑平凡域上的第一双调和边值问题等价于三个（依次求解的）二阶问题。该分解结果基于所涉及的非标准张量场 Sobolev 空间的类 Helmholtz 分解，以及对此空间上算子 div-Div 的恰当刻画。第二作者最近发表了 2D 双调和问题的类似结果及其对有限元方法构造与分析的影响。对 div-Div 核的讨论导出了（类 de Rham 的）闭与正合 Hilbert 复形，即 div-Div 复形及其伴随的 Grad-grad 复形，涉及无迹对称张量场空间。对于这些张量场，我们展示了 Helmholtz 型分解，最重要的是，给出了新的紧嵌入结果。我们几乎所有的结果对任意拓扑的有界强 Lipschitz 域均成立并已表述。毫无疑问，我们的结果可以推广到任意维数的强 Lipschitz 域。
引用
@article{arxiv.1609.05873,
title = {On Closed and Exact Grad-grad- and div-Div-Complexes, Corresponding Compact Embeddings for Tensor Rotations, and a Related Decomposition Result for Biharmonic Problems in 3D},
author = {Dirk Pauly and Walter Zulehner},
journal= {arXiv preprint arXiv:1609.05873},
year = {2017}
}
备注
biharmonic equation, Helmholtz decomposition, Hilbert complexes