区域分解框架下亥姆霍兹方程的泛函分析

本文给出了与求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程的区域分解技术相关的函数空间的几何描述。理解这些空间的几何结构可以导出求解方程的算法，同时也为经典算法提供了新的解释，增强了收敛性。给出了算法并证明了收敛性，并进行了数值测试。这是通过构建工具来实现区域分解技术相关算子的几何解释而完成的。定义了表达亥姆霍兹方程能量守恒的Despres算子于虚拟边界上，并证明了其谱性质。这成为证明非耗散腔体中亥姆霍兹方程给定算法收敛性的关键。利用这些工具，可以证明亥姆霍兹方程的区域分解设置会导致一个不适定问题。然而，可以证明如果解存在，则解是唯一的，并且算法确实收敛到该解。