三维中等离子体的表面局域化与凸性

定义在光滑曲面上的 Neumann–Poincaré 算符具有一列收敛于零的特征值，而相应特征函数（称为等离子体）的单层势衰减至零，即当序列指标 $j$ 趋于无穷时，等离子体在曲面上局域化。我们定量地研究了三维中等离子体的表面局域化。结果有三方面。我们首先证明，在一般形状的光滑有界区域上，等离子体序列在边界曲面外几乎必然以 $j^{-1/2}$ 的速率收敛于零。接着我们证明，若区域是严格凸的，则收敛速率变为 $j^{-\infty}$，即对任意整数 $N$ 均快于 $j^{-N}$。作为推论，我们证明了在三维严格凸光滑区域上不会发生由反常局域化共振引起的隐身。随后我们通过数值计算考察 Clifford 环面上等离子体的表面局域化。Clifford 环面被取作非凸曲面的例子。计算结果表明，该环面展现出的谱性质与严格凸区域完全不同。特别地，它们表明环面上存在一列等离子体子列，其衰减远慢于该序列的其他项。