Sobolev 空间中的旋度与散度梯度

在有光滑边界 $\Gamma$ 的有界域 $G \subset \textrm{R}^3$ 中的空间 $\mathbf{L}_2(G)$ 内，以及在 Sobolev 空间 $\mathbf{C}(2k, m)(G)\equiv \mathbf{A}^{2k}(G) \oplus \mathbf{W}^m(G)$ 中，研究了旋度与散度梯度算子（$\text{rot}$ 和 $\nabla \text{div}$）的性质。S.L. Sobolev 在具有广义右端的空间 $W_2^m(\Omega)$ 中研究了标量多重调和方程 $\Delta^m\,u=\rho$ 的边值问题，并为这些空间的理论奠定了基础。其构造具有矩阵类比，此处给出其中一些。在类 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 中，空间 ${W}_2^{(m)}(G)$ 的类比为阶数 $2k>0$ 和 $m>0$ 的空间 $\mathbf{A}^{2k}(G)$ 和 $\mathbf{W}^m(G)$，以及 $\mathbf{A}^{-2k}(G)$ 及其对偶空间 $\mathbf{W}^{-m}(G)$。空间对构成 Sobolev 空间网，其元素为类 $\mathbf{C}(2k, m)(G)\equiv \mathbf{A}^{2k}(G) \oplus \mathbf{W}^m(G)$；类 $\mathbf{C}(2k, 2k)$ 与 Sobolev 空间 $\mathbf{H}^{2k}(G)$ 重合。若 $k\geq 0$ 且 $m\geq 0$，它们属于 $\mathbf{L}_{2}(G)$。一个广阔的问题领域由此展开：在网络 Sobolev 空间中研究算子 $(\mathrm{rot})^p$、$(\nabla \,\mathrm{div})^p$（其中 $p = 1,2, ...$）及其他算子。