广义 Whittle-Matérn 场在 Sobolev 与 Hölder 空间中的正则性与收敛性分析

我们分析了一个由欧氏域 $\mathcal{D}\subset\mathbb{R}^d$ 索引的高斯随机场 $\mathcal{Z}\colon\mathcal{D}\times\Omega\to\mathbb{R}$ 的若干 Galerkin 逼近，其协方差结构由二阶椭圆微分算子 $L:= -\nabla\cdot(A\nabla) + \kappa^2$ 的负分数次幂 $L^{-2\beta}$ 决定。在对域 $\mathcal{D}$、系数 $A\colon\mathcal{D}\to\mathbb{R}^{d\times d}$、$\kappa\colon\mathcal{D}\to\mathbb{R}$ 以及分数指数 $\beta>0$ 作最小假设的条件下，我们证明了在 $L_q(\Omega; H^\sigma(\mathcal{D}))$ 与 $L_q(\Omega; C^\delta(\overline{\mathcal{D}}))$ 中，对于 (i) 谱 Galerkin 方法与 (ii) 有限元逼近均达到（本质上）最优速率的收敛性。具体而言，我们的分析仅基于微分算子 $L$ 的 $H^{1+\alpha}(\mathcal{D})$-正则性，其中 $0<\alpha\leq 1$。针对此设定，我们进一步给出了这些逼近的协方差函数在 $L_{\infty}(\mathcal{D}\times\mathcal{D})$ 与混合 Sobolev 空间 $H^{\sigma,\sigma}(\mathcal{D}\times\mathcal{D})$ 中误差的严格估计，表明其收敛速度比相应的 $L_q(\Omega; H^\sigma(\mathcal{D}))$-速率快两倍以上。对于此类高斯随机场的著名例子——原始的 Whittle-Matérn 类（其中 $L=-\Delta + \kappa^2$ 且 $\kappa \equiv \operatorname{const.}$），我们进行了若干数值实验以验证我们的理论结果。