有界域上对称积分算子的 Hilbert–Schmidt 正则性及其在 SPDE 近似中的应用

本文导出了凸有界域上具有对称连续核的积分算子的正则性估计。该域上均方连续随机场的协方差即为此类算子的一个例子。估计以积分算子及其平方根与配备 Dirichlet 或 Neumann 型齐次边界条件的椭圆算子的分数次幂复合后的 Hilbert–Schmidt 范数形式给出。此类将驱动噪声的正则性与微分算子的性质相耦合的估计，对有界域上随机偏微分方程及其数值近似具有重要意义。推导估计的主要工具是有界域上函数再生核 Hilbert 空间的性质以及 Sobolev 空间的 Hilbert–Schmidt 嵌入。文中同时考虑了非齐次与齐次核；对于后者，还给出了一般 Schatten 类范数下的结果。本文结果所涵盖的齐次核的重要例子包括 Matérn 核类。