谱算子在 Hilbert 空间上归一化幂序列的收敛性

设 $\mathscr{H}$ 为复 Hilbert 空间，$\mathscr{B}(\mathscr{H})$ 为其上的所有有界算子集合。对于算子 $T \in \mathscr{B}(\mathscr{H})$，记 $|T| := (T^*T)^{\frac{1}{2}}$。对于 $\mathscr{B}(\mathscr{H})$ 中的算子 $A$，称序列 $\{ |A^n|^{\frac{1}{n}} \}_{n \in \mathbb{N} }$ 为 $A$ 的归一化幂序列。我们的主要结果是证明谱算子在 $\mathscr{B}(\mathscr{H})$ 中的归一化幂序列在范数意义下收敛，并以其幂等值光谱分解的形式明确描述极限。我们的ethods substantially 扩展了首位作者在 $M_m(\mathbb{C})$ 中的矩阵情形下的相应结果，并补充了 Haagerup-Schultz 定理关于 $II_1$ 因子中算子归一化幂序列在 SOT 收敛性的结论。