反势问题 Galerkin 逼近的收敛速率分析

在本工作中，我们分析了从分布观测中恢复椭圆/抛物问题中依赖于空间的势系数的反问题。我们在对问题数据非常温和的条件下建立了新颖的（加权）条件稳定性估计。随后，我们对基于标准输出最小二乘公式并带有 Tikhonov 正则化（通过 $H^1$-半范数惩罚）的标准重构方案进行了误差分析，并采用空间连续分段线性有限元（对于抛物问题还采用后向 Euler 方法）对其进行离散。我们对离散格式进行了详细分析，并给出了离散逼近关于精确势在加权 $L^2(\Omega)$ 中的收敛速率。误差界显式依赖于噪声水平、正则化参数和离散参数。在适当条件下，我们还在标准 $L^2(\Omega)$ 和内部 $L^2$ 范数下导出了误差估计。该分析采用了尖锐的先验误差估计和非标准测试函数。给出了若干数值实验以补充理论分析。