向量值无散度 Sobolev 函数的分解及定常 Navier-Stokes 方程的形状优化

我们在 ${\bf R}^n, n\geq 1$ 中建立了具有自由散度的向量值 Sobolev 函数的无散度分解。我们证明了对 ${\bf R}^n,n=2,3$ 中任意 $\cal C$ 类区域 $\om$,空间 $D_0^1(\om)\equiv\{{\mathbf{v}} \in H^1_0(\Omega)^n ; {div}{\mathbf{v}}=0\}$ 与空间 $H_{0,\sigma}^1(\om)\equiv \bar{\{{\mathbf{v}}\in C^{\infty}_0(\Omega)^n;{div}{\mathbf v}=0\}}^{\|\cdot\|_{H^1(\om)^n}}$(即 $\{{\mathbf{v}} \in C^{\infty}_0(\Omega)^n; {div}{\mathbf v}=0\}$ 在 $H^1(\Omega)^n$ 范数下的完备化)是相同的。我们还将证明 $H_{0,\sigma}^1(D\setminus\bar\om)=\{{\mathbf v}\in H_{0,\sigma}^1(D); {\mathbf v}=0 {a.e. in} \om\}$,其中 $D$ 为满足 $\om\subset\subset D$ 的有界 Lipschitz 区域。这些结果,连同 $\mathcal C$ 类区域的性质,被用于解决定常 Navier-Stokes 方程形状优化理论中的一个存在性问题。