锥状域中具分离变量形式的二维定常 Navier-Stokes 方程解的分类

我们研究任意锥状域中定常 Navier-Stokes 方程解的分类问题。在分离变量形式下，$$u(x,y)=\left( \begin{array}{c} \varphi_1(r)v_1(\theta) \varphi_2(r)v_2(\theta) \end{array} \right) ,$$ 其中在极坐标下 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$，我们得到了所有具 $C^0$ Dirichlet 边界条件的光滑解的表达式。特别地，这表明：(i) 找到了一些在边界上 Hölder 连续但其梯度在角点处爆破的解；(ii) 如同调和函数或 Stokes 方程，在 $\mathbb{R}^2$ 全平面中的所有解均为多项式表达式。