二维有界区域内具有混合边界条件的 Navier-Stokes 方程的解

在本文中，我们考虑具有混合边界条件的非定常 Navier-Stokes 方程组。我们研究了该方程组解的存在性和唯一性。我们分别定义 Banach 空间 $X$ 和 $Y$ 为该问题“可能”解的空间及其数据空间。我们定义算子 $\mathcal{N}:X\rightarrow Y$ 并用算子方程的形式表述我们的问题。设 $\mathbf{u}\in X$，且 ${{\mathcal G}_{\mathcal P}}_{\mathbf{u}}: X\rightarrow Y$ 为 $\mathcal{N}$ 在 $\mathbf{u}$ 处的 Fréchet 导数。我们证明 ${{\mathcal G}_{\mathcal P}}_{\mathbf{u}}$ 是单射且满射到 $Y$。因此，假设该系统对于某些给定数据（初始速度和右端项）是可解的，那么对于先前数据的微小扰动，该系统存在唯一解。本文附录中证明的下一个结果是：对于足够光滑的数据，具有混合边界条件的定常 Stokes 方程组的解具有 $W^{2,2}$-正则性。