关于定常Navier-Stokes方程及其有限元离散的映射单调性
数值分析
2025-07-23 v1 数值分析
摘要
本文解决了关于Banach空间中非线性方程存在性问题的挑战，聚焦于Navier-Stokes方程及其离散化。传统方法，如单调性方法和固定点定理，常常在处理一般非线性算子或有限元离散化时面临局限。一种新概念——映射单调性，提供了一种统一的框架，通过连续映射来分析非线性算子。我们将这些思想应用于Banach空间中的saddle-point问题，强调无限维形式和有限元离散化。我们的分析包括稳定化技术，以在有限维设置中恢复单调性，确保解的稳定性与存在性。对于线性问题，我们探讨了无穐条件与映射单调性之间的关系，以Stokes方程为案例研究。对于非线性saddle-point系统，我们扩展框架通过满射映射实现映射单调性，使各种稳定化Navier-Stokes有限元方法（包括Brezzi-Pitk"aranta、简单变体和局部投影稳定化（LPS）技术）能够简洁地证明解的存在性。这些包括对湍流问题的拓展。所提出的方法ology为分析非线性PDE及其离散化提供了稳健的工具，绕过了传统分解，为计算流体力学的未来发展奠定了基础。
引用
@article{arxiv.2412.00494,
title = {Mapped coercivity for the stationary Navier-Stokes equations and their finite element approximations},
author = {Roland Becker and Malte Braack},
journal= {arXiv preprint arXiv:2412.00494},
year = {2025}
}