切触流形上的典范联络

我们在切触流形 $(Q,\xi)$ 上引入一个典范仿射联络，该联络关联于每个切触三元组 $(Q,\lambda,J)$，其中 $\lambda$ 是一个切触形式，$J:\xi \to \xi$ 是满足 $J^2 = -id$ 且与 $d\lambda$ 相容的自同态。我们称其为 $(Q,\lambda,J)$ 的切触三元组联络，并证明其存在性和唯一性。该联络是典范的，因为对于任何满足 $\phi^*\lambda = \lambda$（有时称为严格切触微分同胚）的微分同胚 $\phi:Q \to Q$，三元组联络 $\nabla$ 的拉回联络 $\phi^*\nabla$ 成为拉回三元组 $(Q, \phi^*\lambda, \phi^*J)$ 的三元组联络。它还同时保持三元组度量 $$g_{(\lambda,J)} = d\lambda(\cdot, J\cdot) + \lambda \otimes \lambda$$ 以及被视为 $TQ = \mathbb R\{X_\lambda\}\oplus \xi$ 上自同态的 $J$，并由其挠率性质以及切触形式 $\lambda$ 在 $CR$ 意义下全纯的要求所刻画。特别地，该联络限制到 Hermitian 向量丛 $(\xi,J,g_\xi)$（其中 $g_\xi = d\lambda(\cdot, J\cdot)|_{\xi}$）上给出一个 Hermitian 联络 $\nabla^\pi$，我们称之为 $(\xi,J,g_\xi)$ 的切触 Hermitian 联络。这些联络极大地简化了后续文献 \cite{oh-wang1}, \cite{oh-wang2} 中的张量计算，这些计算属于作者对映射 $w$（称为切触瞬子）的解析研究，该映射在切触三元组 $(Q,\lambda,J)$ 中满足非线性椭圆方程组 $\overline{\partial}^\pi w = 0, \, d(w^*\lambda \circ j) = 0$。