对称算子扩张的一阶渐近扰动理论

本研究为对称算子变自伴扩张的渐近扰动理论提供了新视角。采用自伴性的辛表述，我们得到了预解差的新版 Krein 公式，该公式通过关联扰动算子的 Lagrangian 平面族的一阶展开，便利了预解算子的渐近分析。具体而言，我们推导了 Riccati 型微分方程，以及由 Lagrangian 平面的光滑单参数族所确定的自伴扩张预解的一阶渐近展开。该渐近扰动理论给出了抽象 Kato 选择定理的辛版本，以及分叉自无扰动算子特征值的多重特征值曲线斜率的 Hadamard-Rellich 型变分公式。后者进而给出了将自伴扩张路径的谱流与相应 Lagrangian 平面路径的 Maslov 指数相等的著名公式的一般无穷小版本。应用涉及量子图、周期 Kronig-Penney 模型、带 Robin 边界条件的二阶椭圆偏微分方程，以及具有热导率的物理相关热方程。