无界自伴算子的紧奇异自伴扰动的散射矩阵

在本文中，我们考虑一个无界自伴算子 $A$ 及其在同一 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 中的自伴扰动。如同 S. Albeverio 与 P. Kurasov (2000) 所述，若自伴算子 $A_{1}$ 与 $A$ 具有不同定义域 $\mathcal{D}(A),\mathcal{D}(A_{1})$ 但在 $\mathcal{D}(A)\cap\mathcal{D}(A_{1})$ 上 $A=A_{1}$，则称 $A_{1}$ 为 $A$ 的奇异扰动。假设 $A$ 具有绝对连续谱，且对非实数 $z$，$A_{1}$ 与 $A$ 的预解式之差 $R_{z}(A_{1}) - R_{z}(A)$ 为迹类算子，我们通过该算子对的 Krein 预解式公式中各组成元素，给出其对 $A, A_{1}$ 的散射矩阵的显式表达式。作为示例，我们求得了 $L_{2}\left(\mathbf{R}_{3}\right)$ 中标准定义的 Laplace 算子及其以无限个零程势之和形式出现的奇异扰动的散射矩阵。