PT 对称算子的标准展开与微扰理论

设 $H$ 为 $L^2(\R^d)$ 上任意形如 $-\hbar^2\Delta+(x_1^2+...+x_d^2)+igW(x_1,...,x_d)$ 的 $\PT$ 对称薛定谔算子，其中 $W$ 为任意奇齐次多项式，$g\in\R$。证明 $\P H$ 是自伴的，且其特征值（相差一个符号）与 $H$ 的奇异值即 $\sqrt{H^\ast H}$ 的特征值一致。此外，我们显式构造了 $H$ 的标准展开，并通过其发散微扰理论的 Borel 可和性确定了 $H$ 的奇异值 $\mu_j$。奇异值借助 Weyl 不等式给出了 $H$ 的特征值 $\l_j$ 的位置估计。