$PT$ 对称非自伴算子:可对角化与不可对角化情形下的实离散谱

在 $L^2(\mathbb{R}^d)$（$d\geq 1$）中考虑算子族 $H(g):=H_0+igW$，其中 $\ds H_0= a^\ast_1a_1+\cdots+a^\ast_da_d+d/2$ 是具有有理频率的量子谐振子，$W$ 是 $P$ 对称有界势，$g$ 是实耦合常数。我们证明：若 $|g|<\rho$（$\rho$ 为一个可显式确定的常数），则 $H(g)$ 的谱是实的且离散的。此外，我们证明算子 $\ds H(g)=a^\ast_1 a_1+a^\ast_2a_2+ig a^\ast_2a_1$ 具有实的离散谱，但不可对角化。