量子霍尔效应哈密顿量的离散谱 II. 周期边缘势

我们考虑无微扰算子 $H_0: = (-i \nabla - {\bf A})^2 + W$，它在 $L^2({\mathbb R}^2)$ 中自伴。这里 ${\bf A}$ 是产生恒定磁场 $b>0$ 的磁矢势，边缘势 $W = \bar{W}$ 是一个仅依赖于 $(x,y) \in {\mathbb R}^2$ 中第一坐标 $x \in {\mathbb R}$ 的 ${\mathcal T}$ 周期非恒定有界函数。那么 $H_0$ 的谱 $\sigma(H_0)$ 具有带结构，带函数是 $b {\mathcal T}$ 周期的，且一般而言 $\sigma(H_0)$ 中存在无穷多个开放能隙。我们建立了明确的充分条件，以保证 $\sigma(H_0)$ 的给定能带具有正长度，且相应带函数的所有极值点均非简并。在这些假设下，我们考虑微扰算子 $H_{\pm} = H_0 \pm V$，其中电势 $V \in L^{\infty}({\mathbb R}^2)$ 非负并在无穷远处衰减。我们研究了 $H_0$ 的谱隙中 $H_\pm$ 离散谱的渐近分布。我们引入了支配主要渐近项的有效哈密顿量；该哈密顿量可解释为具有无穷矩阵值势的一维薛定谔算子。进一步，我们将注意力限制在紧支撑的微扰 $V$ 上。我们发现，在 $\sigma(H_0)$ 谱的任何开放能隙中都存在无穷多个离散本征值，且这些本征值向相应谱边缘的收敛是渐近高斯的。