有限区间上 Stark 算子的自伴性与谱

在本文中，我们研究形如 $$H=\displaystyle -\frac{d^2}{dx^2}+Fx, F>0 \quad\text{on} \quad \mathcal{H}=L^{2}(-L,L).$$ 的算子的自伴性与谱。$H$ 被称为 Stark 算子，描述量子不对称势阱中的量子粒子。数学物理中多数已知结果未考虑此类算子的自伴性及其作用域。我们聚焦于这一点，并给出所有自伴扩张的参数化。这与奇异对称微分算子的自伴域相关。对于其中某些扩张，我们数值地给出了 $H$ 的谱性质。其中一个例子展现了简并本征值分裂的有趣现象。这是通过使用二分法与牛顿法相结合、数值精度小于 $10^{-8}$ 来完成的。