用谱移函数表示的 Witten 指数

我们研究了与算子路径 $\{A(t)\}_{t=-\infty}^{\infty}$ 相关联的模型算子 $\mathbf{D}_{\mathbf{A}} = (d/dt) + \mathbf{A}$，该算子定义在 $L^2(\mathbb{R};\mathcal{H})$ 中，其中 $(\mathbf{A} f)(t) = A(t) f(t)$ 对几乎处处 $t\in\mathbb{R}$ 成立，且 $f \in L^2(\mathbb{R};\mathcal{H})$ 适当（$\mathcal{H}$ 为可分复希尔伯特空间）。记 $A_{\pm}$ 为 $A(t)$ 当 $t \to \pm \infty$ 时的范数预解式极限，我们的设定允许 $\mathcal{H}$ 中的 $A(t)$ 是无界自伴算子 $A_-$ 的无界相对迹类扰动，且不对 $A_{\pm}$ 作任何离散谱假设。我们引入了 $\mathbf{D}_{\mathbf{A}}$ 的预解式和半群正则化 Witten 指数，分别记为 $W_r$ 和 $W_s$，并证明了只要后者是 Fredholm 算子，这些正则化指数就与 $\mathbf{D}_{\mathbf{A}}$ 的 Fredholm 指数一致。在 $\mathbf{D}_{\mathbf{A}}$ 不再是 $L^2(\mathbb{R};\mathcal{H})$ 中 Fredholm 算子的情形下，我们通过与对 $(A_+, A_-)$ 关联的谱移函数 $\xi(\,\cdot\,;A_+,A_-)$ 相关的项来计算其预解式（或半群）正则化 Witten 指数，具体如下：假设 $0$ 是 $\xi(\,\cdot\,\, ; A_+, A_-)$ 的右勒贝格点和左勒贝格点，分别记为 $\xi_L(0_+; A_+,A_-)$ 和 $\xi_L(0_-; A_+, A_-)$，我们证明了 $0$ 也是 $\xi(\,\cdot\,\, ; \mathbf{H_2}, \mathbf{H_1})$ 的右勒贝格点，记为 $\xi_L(0_+; \mathbf{H_2}, \mathbf{H_1})$，并且 \begin{align*} W_r(\mathbf{D}_{\mathbf{A}}) &= W_s(\mathbf{D}_{\mathbf{A}}) \\ & = \xi_L(0_+; \mathbf{H_2}, \mathbf{H_1}) \\ & = [\xi_L(0_+; A_+,A_-) + \xi_L(0_-; A_+, A_-)]/2, \end{align*} 这是本文的主要结果。在 $\dim(\mathcal{H}) < \infty$ 的特殊情况下，我们证明了 $\mathbf{D}_{\mathbf{A}}$ 的 Witten 指数要么是整数，要么是半整数。