论非 Fredholm 模型算子的指标

设 $\{A(t)\}_{t \in \mathbb{R}}$ 是 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 中的一族自伴 Fredholm 算子，当 $t \to \pm \infty$ 时分别趋于端点 $A_\pm$。计算算子 $D_A= (d/d t) + A$ 在 $L^2(\mathbb{R}; \mathcal{H})$ 上作用的指标，其中 $A = \int_{\mathbb{R}}^{\oplus} dt \, A(t)$，以及该指标与沿此路径的谱流之间的关系，已有很长的历史。以往大部分研究集中于 $A(t)$ 均具有纯离散谱的情形，而我们特别研究允许本质谱存在的情况。引入 $H_1={D_A}^* D_A$ 和 $H_2=D_A {D_A}^*$，我们考虑与对 $(A_+, A_-)$ 和 $(H_2,H_1)$ 相关联的谱位移函数 $\xi(\, \cdot \,; A_+, A_-)$ 和 $\xi(\, \cdot \, ; H_2, H_1)$。假设 $A_+$ 是 $A_-$ 的相对迹类扰动且 $A_{\pm}$ 为 Fredholm 算子，文献 [14] 证明了 $\xi(0; A_-, A_+)$ 的值表示沿路径 $\{A(t)\}_{t\in \mathbb{R}}$ 的谱流，而 $\xi(0_+; H_1,H_2)$ 的值给出 $D_A$ 的 Fredholm 指标。文献 [14] 证明了这两个谱函数的值相等，从而解决了该情形下的指标等于谱流问题。当路径 $\{A(t)\}_{t \in \mathbb{R}}$ 由微分算子构成时，相对迹类扰动的假设不再成立。适用于 (1+1)-维微分算子的最简单假设是相对 Hilbert-Schmidt 扰动。这不仅仅是一个渐进的改进。事实上，我们在此为推广此结果所采用的逼近方法在任何维度下都具有重要意义。此外，我们考虑了未必是 Fredholm 算子的 $A_\pm$，并证明了先前所有论文 [9]、[14] 和 [22] 中关于对 $(A_+, A_-)$ 和 $(H_2,H_1)$ 的两个谱位移函数之间的关系，在非 Fredholm 情形下也能得到证明。