关于同调指数的谱流公式

考虑希尔伯特空间 H 上的一个自伴无界算子 D 和由实数轴参数化的自伴有界算子单参数范数连续族 {A(t)}。那么在包括算子 {D(t)= D+A(t)} 均具有离散谱等某些条件下 \cite{RS95}，沿路径 { D(t)} 的谱流可被证明等于 d/dt+D(t) 的指数，前提是后者是 L^2(R, H) 上的无界 Fredholm 算子。在 \cite{GLMST11} 中，开始研究了当路径中的算子可能具有某些本质谱时的指数=谱流问题，但其限制性假设通常排除了微分算子。在 \cite{CGPST14a} 中，研究了当完全放弃 Fredholm 条件时会发生什么情况。在这些情况下，Fredholm 指数被 Witten 指数所取代。在本文中，我们将 \cite{CGPST14a} 中开始的研究进一步推进。我们展示了如何将已知于 L^2 指数定理背景下的公式推广到非 Fredholm 背景。我们的主要定理给出了一个迹公式，将 \cite{CaKa:TIH} 中的同调指数与一个积分公式联系起来；对于具有紧预解式且端点酉等价的一族自伴 Fredholm 算子，该积分公式已知可用于计算谱流。然而，我们的公式适用于自伴非 Fredholm 算子路径。我们将此解释为表明谱流已推广至非 Fredholm 背景。