欧几里得 Callias 算子的高阶谱位移

我们考虑奇数维欧几里得空间上的 Dirac-Schrödinger 算子。势的条件基于 C. Callias 在其关于相应指标问题的著名论文中的设定。然而，我们处理势可取可分 Hilbert 空间中无界算子值的情况，且关键的是，我们也不假设势需要在紧致区域外可逆。因此，Dirac-Schrödinger 算子不一定是 Fredholm 的。在我们讨论的框架下，它仍然允许用底层势表示的相关迹公式。在本文中，我们用高阶谱位移函数表示这些 Callias 型算子的迹公式，导出了一个泛函方程，该方程推广了由 A. Pushnitski 首先发现的一个已知泛函方程。据作者所知，本文提出了涉及高阶谱位移函数的 Callias 指标定理的首个多维非 Fredholm 推广。更准确地说，我们还证明了在势相关的高阶谱位移函数满足 Lebesgue 点条件时，Callias 型算子即使在非 Fredholm 设定下也允许正则化指标。这对应于 A. Carey 等人在一维情形下证明的已知 Witten 指标结果。我们引入的正则化指标是经典 Witten 指标的一个微小推广，我们给出了一个指标公式，它推广了经典的 Callias 指标定理。作为例子，我们处理了 $(d+1)$-无质量 Dirac-Schrödinger 算子的情形，并计算了相关的高阶谱位移函数。