关于将 Fredholm 行列式推广到具有正则核的混合多维积分算子

我们将经典迹（与行列式）——已知用于具有矩阵值核 ${\bf A}$ 的积分算子 $$({\mathcal I}+)\int_{[0,1)^N}{\bf A}({\bf k},{\bf x}){\bf u}({\bf x})d{\bf x}$$ ——推广到如下形式的算子 $$\sum_{\alpha}\int_{[0,1)^{|\alpha|}}{\bf A}({\bf k},{\bf x}_{\alpha}){\bf u}({\bf k}_{\overline{\alpha}},{\bf x}_{\alpha})d{\bf x}_{\alpha},$$ 其中 $\alpha$ 是集合 $\{1,...,N\}$ 的任意子集。这类算子构成一个 Banach 代数，同时包含所有维数 $\leqslant N$ 的积分算子。在此意义上，它是其中能构造出显式迹与行列式的最大代数。这类算子自然地出现在通过具有各种缺陷的周期结构传播的波的力学与物理学中。我们给出了逆算子（预解式）的显式表示，并利用行列式的零点描述了谱。由于算子的结构，我们有 $2^N$ 个不同的行列式，每个行列式描述相应维数的谱分量。