含缺陷的多维离散周期算子的行列式与迹

如先前工作所示，含缺陷的离散周期算子酉等价于如下形式的算子 $${\mathcal A}{\bf u}={\bf A}_0{\bf u}+{\bf A}_1\int_0^1dk_1{\bf B}_1{\bf u}+...+{\bf A}_N\int_0^1dk_1...\int_0^1dk_N{\bf B}_N{\bf u},\ \ {\bf u}\in L^2([0,1]^N,\mathbb{C}^M),$$ 其中 $({\bf A},{\bf B})(k_1,...,k_N)$ 为适当大小的连续矩阵值函数。所有此类算子构成一个非闭代数 ${\mathscr H}_{N,M}$。本文证明，对于 ${\mathscr H}_{N,M}$ 中的算子存在迹 $\pmb{\tau}$ 和行列式 $\pmb{\pi}$，满足 $$\pmb{\tau}(\alpha{\mathcal A}+\beta{\mathcal B})=\alpha\pmb{\tau}({\mathcal A})+\beta\pmb{\tau}({\mathcal B}),\ \ \pmb{\tau}({\mathcal A}{\mathcal B})=\pmb{\tau}({\mathcal B}{\mathcal A}),\ \ \pmb{\pi}({\mathcal A}{\mathcal B})=\pmb{\pi}({\mathcal A})\pmb{\pi}({\mathcal B}),\ \ \pmb{\pi}(e^{{\mathcal A}})=e^{\pmb{\tau}({\mathcal A})}.$$ 映射 $\pmb{\pi}$、$\pmb{\tau}$ 为向量值函数。$\pmb{\pi}$ 具有复结构，而 $\pmb{\tau}$ 形式简单 $$\pmb{\tau}({\mathcal A})=\left({\rm Tr}{\bf A}_0,\int_0^1dk_1{\rm Tr}{\bf B}_1{\bf A}_1,...,\int_0^1dk_1...\int_0^1dk_N{\rm Tr}{\bf B}_N{\bf A}_N\right).$$ 存在一个范数，使得闭包 $\overline{{\mathscr H}}_{N,M}$ 成为 Banach 代数，且 $\pmb{\pi}$、$\pmb{\tau}$ 为连续（解析）映射。该代数同时包含所有矩阵值函数的乘法算子和所有迹类算子。因此，它推广了此前定义行列式与迹的其他代数。