论量子物理微分算符的行列式概念

本文借助算符 zeta 函数的导數（遵循 Ray 和 Singer）并最终通过其 zeta 函数迹，探讨无限维空间中线性算符的行列式概念。对诸如 $\pm I$（$I$ 为单位算符）及其变体这类简单算符稍作推演，表明非交换反常（即 det $(AB) \neq$ det $A$ det $B$）的存在是不可避免的，即便对交换算符，且引人注目的是，对几乎常值算符亦如此。对于 Dirac 型算符，类似的基本论证得出与通常认知相反的结论：尽管有 $\det (\slash D +im) = \det (\slash D -im)$（由 $\slash D$ 谱的对称性条件可得），但这些行列式可能并不等于 $\sqrt{\det (\slash D^2 +m^2)}$，原因仅在于 $\det [(\slash D +im) (\slash D -im)] \neq \det (\slash D +im) \det (\slash D -im)$。通过一个满足对称性条件且具有谐振子谱的算符的极简例子，给出了此事实的证明。若在 Dirac 算符上除质量项（或替代质量项）外还加入化学势贡献，该反常可能具有物理相关性。